Tipos de Integrales

Existen 2 tipos de integrales las indefinidas y las definidas

LA INTEGRAL INDEFINIDA:

Es aquella integral en donde no existe ninguna restricción, es decir, un intervalo establecido.
Se denota de a la siguiente manera:

En donde el simbolo

Es una “S” alargada y es un símbolo de integración o sumación.

Ahora veremos algunos ejemplos aplicativos que nos enseñará paso a paso como hallar la integral de una función indefinida. (haz clic en los siguientes hipervínvulos).


LA INTEGRAL DEFINIDA:
El adjetivo “definida” se usa para indicar que f posee un intervalo determinado en el que se debe de hallar.

Se representa de la siguiente manera:

Sea f una función cuyo dominio incluye el intervalo cerrado (a,b).

Se lee la integral de “a” a “b” de la función f(x).

Otra notación para representar la integral de una función es:

Al observar estos ejemplos aplicativos se les hará más fácil entender como hallar el integral de una función dada.(haz clic en los siguientes hipervínculos).

Definición de Integrales

La integral no solo nos provee de una definición del área y un medio para hallarlo sino que nos permiten también definir y calcular muchas magnitudes físicas por ejemplo, el trabajo centro de masa, momento de inercia, energía potencial, valores medios, etc. y nos proporciona además, un lenguaje para poder formular muchas leyes físicas.

Se llama integral para sugerir que el número se obtiene poniendo juntas partes de algo es decir un proceso de integración. Este proceso se ilustro cuando pusimos juntas las áreas de un rectángulo para obtener el área bajo un arco de parábola.

Historia de los Integrales

La medida del área es un problema que ha preocupado al hombre desde la antigüedad. Los egipcios (2000-1800 a.c) conocían reglas para el cálculo de las áreas y los volúmenes de algunos objetos sencillos. Tenían fórmulas exactas para las áreas de los rectángulos, triángulos, trapezoides y una fórmula incorrecta para el área de un cuadrilátero general. Daban el área aproximada de un círculo como el cuadrado de 8/9 de diámetro, puesto que 4(8/9)2=3,160. Sabían cómo calcular el volumen de los cubos, cilindros y como podía esperarse, el volumen de una pirámide truncada de base cuadrada.

No hay ninguna evidencia de derivación sistemática en alguna de estas reglas. Pero estas reglas pasaron de los egipcios, babilonios a los griegos, empezando con tales (585 a.c) los griegos dieron derivaciones lógicas y sistemáticas de las fórmulas.

De todos los griegos, Arquímedes (250 a.c) fue el que más se acercó al concepto moderno de área. Conocía el método de acotar un área por un conjunto de rectángulos situados en el interior y un conjunto que cubría justamente el área como se muestra en la figura.

Riemann (1826 – 1866) basó su definición de la integral sobre esta idea. Los conceptos fundamentales del cálculo; la derivación y la integral, preceden a Newton (1642 – 1727) y Leibniz (1646 – 1716), pero es a estos hombres en quienes se les da el título de “Los fundadores del Cálculo”.